Un poliedro es, en el sentido dado por la Geometría clásica al término, un cuerpo geométrico espacial cuyas caras se componen de una cantidad finita de polígonos planos que encierran un volumen finito y no nulo.
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos; por lo que podemos definir un poliedro como un politopo tridimensional.
Elementos notables de un poliedro
En un poliedro cualquiera podemos distinguir los siguientes tres elementos notables principales:
Sus caras, que son las porciones de plano que limitan el cuerpo, tienen forma de polígonos.
Sus aristas, que son los segmentos en los que se encuentran dos caras.
Sus vértices, que son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o más aristas.
Asimismo, también podemos hablar de:
Sus diagonales, que son los segmentos que unen vértices no consecutivos del poliedro (aquellos que no están unidos entre sí por una arista). Criterios de clasificación de los poliedros
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:
Convexos como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso que dicho segmento se salga del cuerpo se dice Poliedros cóncavos, como es el caso del Toroide facetado y los Sólidos de Kepler-Poinsot
Poliedro de caras regulares cuando todas las caras del poliedro son polígonos fi regulares.
Poliedro de caras uniformes cuando todas las caras son iguales.
Se dice Poliedro de aristas uniformes cuando en todas sus aristas se reúnen el mismo par de caras.
Se dice Poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.
Se dice Poliedro regular, como el Tetraedro o el Icosaedro cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.
Se dice Poliedro uniforme cuando es un poliedro de vértices uniformes y todas sus caras son polígonos regulares. Sólo se han encontrado 75 poliedros uniformes.
Estos grupos no son exclusivos, es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.
Familias de poliedros
Poliedros regulares
Sólidos platónicos
Tetraedro
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el Tetraedro, el Cubo, el Octaedro, el Dodecaedro y el Icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho que los griegos adjudicaban a estos cuerpos cada uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, el dodecaedro, a la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros, de estos se derivan los Sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez siguen generando más familias.
Poliedros irregulares
Sólidos arquimedianos
Cuboctaedro
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de de caras regulares y vértices uniformes pero no de caras uniformes, fueron ampliamente trabajados por Arquímedes. Algunos se les puede hallar truncando los sólidos platónicos, son 11: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.
Y 2 más que no se obtienen truncando sólidos platónicos: el Cubo romo y el Icosidodecaedro romo. Estas dos figuras tienen caso isomórfico, es decir una figura de espejo correspondiente.
Prismas y antiprismas
Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos. Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices que le dan el nombre al prisma y una serie de cuadrados, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de 2 triángulos y 3 cuadrados; tiene 9 aristas y 6 vértices de orden 3 donde convergen siempre dos cuadrados y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma decagonal que se compone de 2 decágonos + 10 cuadrados; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3. Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así el antiprisma cuadrado se compone de 2 cuadrados y 8 triángulos; tiene 8 vértices y 16 aristas.
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos; por lo que podemos definir un poliedro como un politopo tridimensional.
Elementos notables de un poliedro
En un poliedro cualquiera podemos distinguir los siguientes tres elementos notables principales:
Sus caras, que son las porciones de plano que limitan el cuerpo, tienen forma de polígonos.
Sus aristas, que son los segmentos en los que se encuentran dos caras.
Sus vértices, que son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o más aristas.
Asimismo, también podemos hablar de:
Sus diagonales, que son los segmentos que unen vértices no consecutivos del poliedro (aquellos que no están unidos entre sí por una arista). Criterios de clasificación de los poliedros
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:
Convexos como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso que dicho segmento se salga del cuerpo se dice Poliedros cóncavos, como es el caso del Toroide facetado y los Sólidos de Kepler-Poinsot
Poliedro de caras regulares cuando todas las caras del poliedro son polígonos fi regulares.
Poliedro de caras uniformes cuando todas las caras son iguales.
Se dice Poliedro de aristas uniformes cuando en todas sus aristas se reúnen el mismo par de caras.
Se dice Poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.
Se dice Poliedro regular, como el Tetraedro o el Icosaedro cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.
Se dice Poliedro uniforme cuando es un poliedro de vértices uniformes y todas sus caras son polígonos regulares. Sólo se han encontrado 75 poliedros uniformes.
Estos grupos no son exclusivos, es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.
Familias de poliedros
Poliedros regulares
Sólidos platónicos
Tetraedro
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el Tetraedro, el Cubo, el Octaedro, el Dodecaedro y el Icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho que los griegos adjudicaban a estos cuerpos cada uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, el dodecaedro, a la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros, de estos se derivan los Sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez siguen generando más familias.
Poliedros irregulares
Sólidos arquimedianos
Cuboctaedro
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de de caras regulares y vértices uniformes pero no de caras uniformes, fueron ampliamente trabajados por Arquímedes. Algunos se les puede hallar truncando los sólidos platónicos, son 11: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.
Y 2 más que no se obtienen truncando sólidos platónicos: el Cubo romo y el Icosidodecaedro romo. Estas dos figuras tienen caso isomórfico, es decir una figura de espejo correspondiente.
Prismas y antiprismas
Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos. Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices que le dan el nombre al prisma y una serie de cuadrados, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de 2 triángulos y 3 cuadrados; tiene 9 aristas y 6 vértices de orden 3 donde convergen siempre dos cuadrados y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma decagonal que se compone de 2 decágonos + 10 cuadrados; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3. Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así el antiprisma cuadrado se compone de 2 cuadrados y 8 triángulos; tiene 8 vértices y 16 aristas.
